Geometria: prove che coinvolgono le linee perpendicolari

Dimostrazioni che coinvolgono le linee perpendicolari

Geometria

  • Dimostrare le relazioni tra le linee
  • Dimostrazioni che coinvolgono le linee perpendicolari
  • Andiamo in parallelo
  • Prove sugli angoli alternati
  • Rette parallele e angoli supplementari
  • Usare il parallelismo per dimostrare la perpendicolarità
  • Dimostrare che le linee sono parallele

Inizierò con una revisione di ciò che hai imparato sulle linee. Ogni volta che hai due linee, può succedere solo una delle tre cose: o sono la stessa linea, sono linee parallele o le due linee si intersecano in un punto. Se le due rette si intersecano in un punto, gli angoli verticali formati sono congruenti. Le linee che si intersecano formano una coppia di angoli acuti e una coppia di angoli ottusi, oppure le linee che si intersecano formano quattro angoli retti. Quando le linee si incontrano per formare quattro angoli retti, le linee sono perpendicolari.



Il fatto principale da stabilire sulle linee perpendicolari ha a che fare con l'unicità. Ricorda che il punto medio di un segmento di linea e la bisettrice di un angolo sono unici. Hai imparato che se ti vengono dati un punto e una linea, c'è un'unica linea che passa per quel punto che è perpendicolare alla linea. Ora hai le capacità per stabilire la proprietà di unicità delle linee perpendicolari.

che aspetto ha il modulo standard
  • Teorema 10.1 : Dato un punto A su una retta l, esiste un'unica retta m perpendicolare ad l che passa per A.
  • Esempio 1 : Scrivi una dimostrazione formale per il Teorema 10.1.
  • Soluzione : Inizia con un piano di gioco su come affrontare il problema. La Figura 10.1 mostra una linea le un punto A su l. Vuoi dimostrare che esiste un'unica retta m perpendicolare ad l che passa per A. Il modo in cui hai dimostrato l'unicità negli esempi precedenti è stato quello di assumere che ce ne fossero due, e ottenere una contraddizione. Questo è lo stesso approccio da adottare qui.

Figura 10.1A linea l e un punto A su l.

Il disegno che utilizzerai per la tua dimostrazione ha bisogno di due linee distinte, m e n, che passano entrambe per A e sono perpendicolari a l. La Figura 10.2 illustra questa situazione. La contraddizione che otterrai riguarda il Postulato Goniometro. Ricorda che quando due rette sono perpendicolari, si incontrano per formare angoli retti. Le righe m e l formano ?3. Le righe n e l formano ?2. Poiché m ed n sono rette distinte che si incontrano in A, quando si intersecano formeranno ?1. Insieme ?1, ?2 e ?3 formano l'angolo retto ?BAC, quindi la somma delle loro misure deve essere 180. Ma se m?2 = 90 e m?3 = 90, hai calcolato tutti i 180. Non ci sono più gradi rimasti per formare ?1. Ecco dove sta il problema: m?1 = 0 , che contraddice il postulato del goniometro. Ora che hai un piano di gioco, puoi scrivere la prova formale. A questo punto dovresti essere a tuo agio con il formato di una prova formale, quindi seguirò i passaggi.

Figura 10.2Due rette distinte, m ed n, che passano entrambe per A e sono perpendicolari a l.

  • Teorema 10.1 : Dato un punto A su una retta l, esiste un'unica retta m perpendicolare ad l che passa per A.
  • Il disegno è mostrato in Figura 10.2.
  • Data una retta l e un punto A su l, supponiamo che ci siano due rette, m ed n, che passano entrambe per A e sono perpendicolari a l.
  • Dimostrare che m?1 = 0
  • Prova: per quanto riguarda un piano di gioco, ho già delineato la maggior parte delle prove. Utilizzerai la definizione di angolo retto, il postulato di addizione dell'angolo e il postulato del goniometro.
DichiarazioniMotivi
1.I punti A, B e C giacciono su una retta l, e m e n sono rette distinte che passano entrambe per A e sono perpendicolari a lDato
2.?BAC è un angolo retto e m?BAC = 180Definizione di angolo retto
3.m?1 + m?2 + m?3 = m?BACPostulato di addizione degli angoli
Quattro.m?1 + m?2 + m?3 = 180Sostituzione (passi 2 e 3)
5.?2 è un angolo rettoDefinizione di perpendicolare ( n ? 1 )
6.?3 è un angolo rettoDefinizione di perpendicolare ( m ? 1 )
7.m?2 = 90 , m?3 = 90Definizione di angolo retto
8.m?1 + 90 + 90 = 180Sostituzione (passi 4 e 7)
9.m?1 = 0Algebra

Hai stabilito la tua contraddizione, e quindi l'assunzione che ci fossero due rette distinte perpendicolari ad l passanti per A era falsa. L'unicità è stabilita.

illinois su una mappa

Tratto da The Complete Idiot's Guide to Geometry 2004 di Denise Szecsei, Ph.D.. Tutti i diritti riservati, incluso il diritto di riproduzione totale o parziale in qualsiasi forma. Usato previo accordo con Alpha Books , un membro del Penguin Group (USA) Inc.

Per ordinare questo libro direttamente dall'editore, visita il sito web di Penguin USA o chiama il numero 1-800-253-6476. Puoi anche acquistare questo libro su Amazon.com e Barnes & Noble .