Geometria: come si relaziona con il cerchio unitario?

In che modo questo si riferisce al cerchio dell'unità?

Geometria

  • Il cerchio unitario e la trigonometria
  • Il rapporto di tangenza
  • Il rapporto seno
  • Il rapporto coseno
  • E il resto
  • In che modo questo si riferisce al cerchio dell'unità?

I nostri rapporti trigonometrici sono stati definiti entro i confini di un triangolo rettangolo. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo rettangolo è 180 e uno di questi angoli ha misura 90, gli altri due angoli di un triangolo rettangolo devono essere acuti. Quindi puoi trovare solo i rapporti trigonometrici degli angoli acuti. È troppo limitante.



I rapporti seno, coseno e tangente possono essere definiti per qualsiasi angolo, non solo per gli angoli acuti. Ma per fare ciò, devi incorporare un triangolo rettangolo in un cerchio. Sebbene tu possa usare qualsiasi cerchio, le cose funzionano bene se usi il 'cerchio unitario'. Potresti chiederti cos'è il cerchio unitario e perché dovresti usare quel particolare cerchio. Bene, il cerchio unitario è un cerchio con raggio uguale a 1. Incorporiamo un triangolo rettangolo in un cerchio unitario e vediamo cosa succede. Usa la Figura 20.9 come guida.

Figura 20.9Un triangolo rettangolo incorporato nel cerchio unitario.

Ciascuno dei vertici del triangolo avrà qualche caratteristica speciale, ma le ambite proprietà sono distribuite in modo tale che un vertice non sia visto come 'migliore'. di qualsiasi altro. Mantieni il vertice A al centro del cerchio. Non è consentito spostarsi da quel punto. Pensa al vertice A come a un 'time out' trigonometrico. Il vertice B è vincolato a giacere sul cerchio. Può muoversi intorno al cerchio e occupare il posto che vuole, ma deve rimanere nel cerchio. L'unica bella proprietà rimasta è l'angolo retto del triangolo, quindi per eliminazione ?C è l'angolo retto. C'è un'ultima restrizione. Mantieni fisso il diametro su cui giace C (in questo caso XY) e lascia che B si muova attorno al cerchio.

L'ipotenusa del tuo triangolo ha un punto finale situato al centro del cerchio e l'altro punto finale sul cerchio. Poiché stai lavorando con il cerchio unitario, la tua ipotenusa ha lunghezza 1. Ricorda che i rapporti seno e coseno coinvolgono entrambi la lunghezza dell'ipotenusa nel denominatore. Non puoi avere un denominatore migliore di un rapporto di 1. Questo è il vantaggio di lavorare sul cerchio unitario.

Ora, lascia che B si muova attorno al cerchio e incorpori sempre un triangolo rettangolo facendo cadere un segmento di linea perpendicolare da B a XY. Nella Figura 20.10, ho mostrato quattro diverse posizioni per B ei corrispondenti triangoli rettangoli incorporati che ne risultano. Notare che l'orientamento del triangolo rettangolo cambia, ma l'ipotenusa è sempre il segmento di linea AB.

Figura 20.10Quattro triangoli rettangoli incorporati nel cerchio unitario, in base alla posizione del vertice B.

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Ogni volta che parli di ?A, dovresti sempre fare riferimento a ?BAC, un angolo interno del tuo triangolo. I rapporti trigonometrici saranno sempre

  • quindi? A =a/B, senza? A =a/C, e cos ?A =B/C.

Questi saranno sempre numeri positivi, perché la lunghezza di ogni lato è positiva (secondo il postulato del righello). Questi rapporti possono essere un po' semplificati perché sei costretto a lavorare sul cerchio unitario:

  • quindi? A =a/B, Allora? A = A, e cos? A = B

Ora che la scena è pronta, sono pronto per parlare dei rapporti trigonometrici di qualsiasi angolo (non solo degli angoli acuti)! Dividerò il cerchio in quarti e discuterò gli angoli che cadono in ciascun quarto uno alla volta. Gli angoli che cadono nel primo quarto sono angoli acuti, e ho già discusso dei rapporti trigonometrici degli angoli acuti.

Per il secondo quarto, supponiamo di avere un angolo ottuso ?, come mostrato nella Figura 20.11. Allora il supplemento di questo angolo ottuso è un angolo acuto. Incorporare un triangolo come quello in Figura 20.10 (b) e definire i rapporti trigonometrici di ? basato sui rapporti trigonometrici di ?A : sin ? = peccato ?A, cos ? = - cos A, e abbronzatura ? = - abbronzatura ?A. Si noti che il rapporto seno di un angolo ottuso ha lo stesso valore numerico del rapporto seno del suo supplemento acuto, mentre i rapporti coseno e tangente di un angolo ottuso hanno lo stesso valore assoluto dei rapporti coseno e tangente del suo supplemento, ma essi hanno il segno opposto.

Figura 20.11 Un cerchio con un angolo ottuso al centro e il corrispondente triangolo incastonato.

Continuiamo a fare il giro del cerchio. Il terzo quarto coinvolge angoli la cui misura è compresa tra 180 e 270, come mostrato nella Figura 20.12. Incorporare un triangolo in questo cerchio simile a quello mostrato nella Figura 20.10 (c) e definire nuovamente i rapporti trigonometrici di questo tipo di angoli basati sui rapporti trigonometrici degli angoli acuti. Tutto quello che devi fare è cambiare alcuni segni (due segni, in realtà): peccato ? = - peccato ?A, cos ? = - cos A, e abbronzatura ? = abbronzatura ?A. Notare che i segni del rapporto seno e coseno sono negativi e il rapporto tangente è quello positivo.

Figura 20.12Un cerchio con angolo al centro compreso tra 180 e 270, e il corrispondente triangolo incastonato.

Ancora un quarto e ti laurei! Quest'ultimo quarto coinvolge angoli la cui misura è compresa tra 270 e 360, come mostrato nella Figura 20.13. In questo caso, incorporare un triangolo rettangolo come nella Figura 20.10 (d) e definire i rapporti trigonometrici dell'angolo in base al rapporto trigonometrico del corrispondente angolo interno acuto. Ancora una volta verranno cambiati due segni: peccato ? = - peccato ?A, cos ? = cos A, e abbronzatura ? = - abbronzatura ?A. Questa volta il rapporto del coseno rimane positivo e i rapporti seno e tangente sono negativi.

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Figura 20.13 Un cerchio con angolo al centro compreso tra 270 e 360, e il corrispondente triangolo incastonato.

Eureka!

I rapporti trigonometrici degli angoli non acuti hanno la stessa grandezza dei rapporti trigonometrici dei corrispondenti angoli acuti. Due dei tre rapporti sono negativi e uno rimane positivo. Mentre fai il giro del cerchio in senso antiorario, inizia con TUTTI i rapporti positivi, quindi il rapporto SENO rimane positivo, quindi il rapporto TANGENTE è positivo e infine il rapporto COSINO ottiene il suo turno. Se hai difficoltà a ricordare quale rapporto è positivo e dove, c'è un famoso mnemonico disponibile per aiutarti: A ll S studenti T ake C alculo? A ll S Altro T angelo C osina.

Questa è solo la punta dell'iceberg trigonometrico. Potrei riempire un intero libro solo con il materiale discusso in una lezione di trigonometria! Inizierò con quel libro subito dopo averlo finito!

Ecco la tua occasione per brillare. Ricorda che sono con te in spirito e ho fornito le risposte a queste domande in Answer Key.

  1. Se un triangolo rettangolo ha un angolo con rapporto di tangenza3/5, trova il rapporto seno di quell'angolo.
  2. Se un triangolo rettangolo ha un angolo con un rapporto seno di1/2, trova il rapporto di tangenza di quell'angolo.
  3. Se un triangolo rettangolo ha un angolo con rapporto coseno3/7, trova i rapporti seno e tangente dell'angolo.
  4. Se un triangolo rettangolo ha un angolo con rapporto seno5/9, trova i rapporti di tangente e coseno dell'angolo.

Tratto da The Complete Idiot's Guide to Geometry 2004 di Denise Szecsei, Ph.D.. Tutti i diritti riservati, incluso il diritto di riproduzione totale o parziale in qualsiasi forma. Usato previo accordo con Alpha Books , un membro del Penguin Group (USA) Inc.

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